Simpsonszabályt

Simpsonszabályt, közismertebb nevén Simpson-szabályt, a numerikus integrálás egyik alapmódszere. A módszer a függvény helyi torzítását parabolikus interpolációval közelíti: az adott [a,b] intervallumon az integrált úgy közelítik, hogy a függvényt kisebb, egységnyi hosszú szakaszokra bontják és minden egyes szakaszon parabolailletéssel dolgoznak.

A kompozit Simpson-szabály akkor alkalmazható, ha [a,b] intervallumot n páros számú részre osztjuk, ahol h = (b−a)/n. Ekkor a közelítés a következő: ∫_a^b f(x) dx ≈ h/3 [ f(a) + 4 f(a+h) + 2 f(a+2h) + 4 f(a+3h) + … + 4 f(b−h) + f(b) ]. A parabolák egyes szakaszokra vonatkozó összege szolgáltatja a végső értéket.

Hibajellegzetesség: a Simpson-szabály hibája a függvény 4. deriváltjától függ. Pontosságot adó becslés: |E| ≤ (b−a)/180 · h^4 · max_{x∈[a,b]} |f^{(4)}(x)|, ahol n páros, és h = (b−a)/n. Ennek következtében a módszer általánosan pontosabb, mint a trapéz- vagy a téglalap-szabály ugyanannyi függvényértéknél, különösen sima függvények esetén.

Gyakorlati megfontolások: a számításhoz n+1 függvényértéket vesz igénybe, és a beépített súlyozás 1-4-2-4-…-4-1 mintázatát követi. Kiterjesztések közé tartozik az adaptív Simpson-módszer és a Simpson 3/8 szabály, valamint a Newton–Cotes család többi tagja.