Identiteettimatriitti

Identiteettimatriitti I_n on n×n:neliömatriisi, jolla on päädiagonaalilla ykkösiä ja kaikilla muilla kohdilla nollia. Yleisimmin sitä merkitään I_n:llä. Matriisi voidaan määritellä I_ij = δ_ij, jossa δ_ij on Kroneckerin delta.

Sillä on keskeiset perusominaisuudet matriisilaskussa: se toimii neutraalina kertoimena kertomalla mitä tahansa n×n-matriisiä A sekä vasemmalta että oikealta, eli A I_n = I_n A = A kaikille A. Näin I_n on matriisilinjan identiteetti- eli ympyräelementti. I_n on käännettävä, ja det(I_n) = 1; sen ryhmässä M_n(F) sillä on täysi sarja ominaisarvoja, ja kaikki ominaisarvot ovat 1 (monikertaisuus n). Lisäksi I_n^k = I_n kaikille k ≥ 1, ja tr(I_n) = n.

Geometrisesti identiteettimatriitti vastaa identiteettifunktiota V → V, kun V on n-ulotteinen vektoritila; sen matriisi vastaa vektoreita muotoa, jossa jokainen komponentti säilyy. Esimerkkejä: I_1 = [1], I_2 = [[1,0],[0,1]].

Käytännössä identiteettimatriitti on neutraali elementti M_n(F):n matriisikossa ja sitä käytetään laajasti lineaarialgebrassa sekä laskennassa lineaarijärjestelmien ratkaisuissa, käänteismatriisien määrittämisessä ja teoreettisissa yhteyksissä identiteetin käsitteeseen vektoritilassa.