Idempotenteja

Idempotenteja (idempotentti elementti) on matemaattisessa kontekstissa elementti e sellainen, että binäärisen operaation soveltaminen sen kanssa kahdesti antaa saman tuloksen kuin yhdellä sovelluksella: e ∘ e = e. Idempotenteja tarkastellaan erityisesti renkaissa, semigrupeissa, moduuleissa ja lineaarisissa operatorioissa, ja niillä on usein projektiota tai dekompositiota koskevia tulkintoja.

Esimerkkejä: Kentässä a^2 = a ratkaisee muodon a(a−1) = 0, joten a ∈ {0, 1}. Rengas Z/nZ:ssa idempotentteja ovat ratkaisut e^2 ≡ e (mod n); yleisesti kentissä ainoat idempotentit ovat 0 ja 1. Lineaarialgebrassa P on idempotentti, jos P^2 = P; esimerkki on diag(1,0), joka projisoi tilan tiettyyn aliavaruuteen.

Ominaisuuksia: Jos e ja f ovat idempotenteja ja ne kommutoivat (ef = fe), niin ef on idempotentti. Keskeiset (keskuselliset) idempotentit mahdollistavat rakenteelliset dekompositiot: jos e on keskeinen, renkaassa R voidaan kirjoittaa R ≅ eR ⊕ (1−e)R. Sumu ei yleensä ole idempotentti, ellei erityisiä ehtoja ole.

Käyttö: Idempotenteja käytetään projektioina lineaarialgebrassa, renkaiden ja moduulien rakenneosien erottelussa sekä rakenteiden dekompositionissa. Ne ovat keskeisiä myös spektri- ja funktionaalisessa laskennassa, joissa ne vastaavat operaatioita, joiden vaikutus säilyy käytännössä muuttumattomana pitkällä aikavälillä.