Homotópia

A homotópia a topológia alapfogalma. Két folytonos leképzés f,g: X→Y között homotópia van, ha létezik H:X×[0,1]→Y, amely folyamatos és minden x∈X-re teljesíti H(x,0)=f(x) és H(x,1)=g(x). Ezzel egy folyamatos átmenetet adunk meg f és g között.

A homotópiákat olyan módon használják, hogy a leképzéseket deformálóan egymásba lehet alakítani. Ha létezik H, akkor f és g homotópiaiak, ezt jelöljük f ~ g, és azokat a leképzéseket egyazon homotópias osztályba soroljuk. Ezek az osztályok a tér X→Y leképzéseinek egyfajta „forma”-készletét írják le a topológiában.

Ha X és Y terek között f:X→Y és g:Y→X léteznek úgy, hogy gf ~ id_Y és fg ~ id_X, akkor X és Y homotópia-típusúak. Ez azt jelenti, hogy két tér ugyanazon homotópiai típusba tartozik, és közös homotopikus tulajdonságokkal rendelkezik.

Példák és invariánsok: ha X kontrakált, akkor id_X ~ c_x0, azaz egy pontból kiinduló leképzésre deformálható. A deformation retract és a terek közötti retraktív kapcsolatok szintén fontos példák. A fundamentális csoport és a magasabb homotópiák olyan invariánsok, amelyek a tér homotópiai típusát jellemzik, és gyakran felhasználják a terek osztályozására és a leképzések osztályainak vizsgálatára.