Homomorfisesti

Homomorfisesti tarkoittaa matematiikassa ja tietojenkäsittelyssä, että tietty funktio tai kuvaus säilyttää rakenteen kahden algebrallisen rakenteen välillä. Termi tulee kreikkalaisista sanoista *homoios* (μόρφως), jotka tarkoittavat "muodoltaan samanlaista". Homomorfismi on keskeinen käsite abstraktissa algebrassa, jossa tutkitaan erilaisia matemaattisia rakenteita, kuten ryhmiä, renkaita, moduuleja ja vektoriavaruuksia.

Homomorfismin perusidea on, että jos funktio *f*: *A* → *B* on homomorfismi kahden algebrallisen rakenteen *A* ja *B* välillä, se säilyttää niiden operaatiot. Esimerkiksi ryhmien välisessä homomorfismissa, jos *A* ja *B* ovat ryhmiä ja *f* on homomorfismi, niin *f*(*a* * *a'*) = *f*(*a*) * *f*(*a'*) kaikille *a*, *a'* ∈ *A*, missä * ja * ovat ryhmien operaatioita. Tällöin homomorfismi "karttaa" ryhmän elementit toiseen ryhmään säilyttäen niiden yhdistämistavan.

Homomorfismi voi olla monin tavoin rajoitettu: se voi olla injektio (kohdeinjektio), surjektio (kohdesurjektio) tai bijektio (kohdebjektio), mikä määrittelee sen olevan isomorfismi, jos se on bijektio. Homomorfismin käsite laajenee myös topologisiin rakenteisiin, kuten topologisiin ryhmiin, missä funktio säilyttää lisäksi topologisen rakenteen.

Homomorfismin käsite on tärkeä myös tietojenkäsittelyssä, esimerkiksi tietokoneohjelmointiin ja tietokantojen suunnittelussa, missä se voi kuvata tietorakenteiden välisiä suhteita tai muunnoksia. Homomorfismin ominaisuudet mahdollistavat abstraktin ajattelun ja yksinkertaistavat monimutkaisten rakenteiden tutkimista.