Heltallskoeffisienter

En heltallskoeffisient er en koeffisient som er et heltall. Begrepet brukes spesielt om polynomer hvor alle koeffisientene er heltall, altså polynomer over ringen Z. Et polynom over Z har formen a_n x^n + … + a_1 x + a_0 med a_i ∈ Z.

Eksempel: P(x) = 4x^3 - 2x + 7 har heltallskoeffisienter. Q(x) = -x^2 + 6x - 1 er også et eksempel. Dette skiller slike polynomer fra polynomer med rasjonelle eller reelle koeffisienter, som kan inneholde fraksjoner eller irrationelle tall.

Egenskaper: Summen og produktet av polynomer med heltallskoeffisienter har også heltallskoeffisienter. Hvis P og Q er i Z[x], er P + Q og P · Q i Z[x]. Videre gir substitusjon av et heltall i et polynom med heltallskoeffisienter et heltall: P(n) ∈ Z for alle n ∈ Z.

Ringen Z[x] består av alle polynomer med heltallskoeffisienter og er et integralt domene. Gauss’ lemma kobler faktorisering i Z[x] til faktorisering i Q[x]: et primitivit polynom i Z[x] som faktorerer i Q[x] kan faktorere i Z[x] opp til en konstant faktor.

Bruksområder: Heltallskoeffisienter er sentrale i tallteori, diophantiske ligninger og kombinatorikk. De gir klare eiendommer for divisibilitet og modulær aritmetikk, og brukes i faktorisering og i genererende funksjoner i en heltallsramme.