Határpontok

Határpontok, vagy boundary points, a topológiában a halmaz határát jellemzik. Legyen A halmaz egy topologikus térben X. Egy pont x X-ben határpontja A-nek, ha minden környezetére vonatkozó nyílt halmaz metsz A-t és A komplementerét is, azaz minden környezet találkozik mind A-val, mind annak kitettségével. Ezt jelöljük ∂A-val.

KAPCSOLATOK a belső és záró fogalmakkal: a határhalmaz ∂A a záróhalmaz és a belső halmaz különbségével írható fel: ∂A = cl(A) \ int(A). Ennek eredménye, hogy határpontok lehetnek a halmazon belül vagy azon kívül, a halmazon belül sincs feltétlenül belső pont nélkülözhetetlen.

Példák:

- A = (0,1) a valós számokban. ∂A = {0,1}.

- A = [0,1]. ∂A = {0,1}.

- A = R. ∂A = ∅.

- A = Q ∩ [0,1]. ∂A = [0,1] (mivel záróhalmaz, belsője üres).

MEGkülönböztetés a halmozódási ponttal: a határpont és a halmozódási pont két külön fogalom. Egy határpont nem feltétlen halmozódási pont (például A = {0} a R-ben határpont, de 0 nem halmozódási pont, mert nincs környezetben A-n kívüli másik pontja). Ugyanakkor előfordulhat, hogy egy határpont halmozódási pont is.

A határpontok fogalma alapvető a topológiában, analízisben és geometriai kontextusokban, mivel meghatározza egy halmaz érintési pontjait és határát a környezetével.