Fraktali

Fraktali on geometristen kohteiden luokka, jossa rakenne toistuu itsensä pienemmissä mittakaavoissa. Itseään toistuvat osat voivat muistuttaa kokonaisuutta ja muodostaa loputtoman monimutkaisen, mutta yksinkertaisiin sääntöihin perustuvan rakennetun kokonaisuuden. Fraktaalit syntyvät usein toistamalla samaa sääntöä tai toimintaketjua yhä pienemmille osille.

Ominaisuus, joka erottaa fraktaalit monista muista geomeetrisista kuvioista, on niiden fractalinen, ei-integerinen dimensiomäärä. Tämä fraktaalinen dimensio kertoo, kuinka monimuotoinen rakenne on, kun sitä suurennetaan, ja se voi olla luvun jaollinen ei-kokonaisluku.

Tyyppejä ja generointitapoja on useita. Geometriset fraktaalit, kuten Koch-käyrä ja Sierpiński-kolmio, syntyvät toistamalla sääntöjä määrätyillä tavoilla. Satunnaiset fraktaalit ilmenevät luonnollisesti epävarmuudessa ja sattumanvaraisuudessa. Pakenemistekniikoihin perustuvat fraktaalit, kuten Mandelbrotin joukko ja Julia-joukot, syntyvät kompleksilukujen iteroinnilla. Generointi voidaan toteuttaa esimerkiksi iteratiivisilla funktiojärjestelmillä (IFS) tai L-systeemien avulla.

Esimerkkejä tunnetuista fraktaaleista ovat Koch-käyrä, Cantor-joukko, Sierpiński-kolmio sekä Mandelbrotin ja Julia-joukot. Niillä on sekä matemaattinen että visuaalinen viehätys.

Käyttökohteita ovat tietokonegrafiikka ja visuaalit, luonnonilmiöiden mallintaminen (rannat, pilvet, kasvien rakenteet), sekä fractalinen pakkaus ja analyysi signaaleissa. Fraktaaleilla onkin ollut vaikutus sekä teoriaan että käytäntöön monilla tieteenaloilla.