Fouriertörvénye

Fouriertörvénye a harmonikus analízis egyik alapelve, amely szerint egy 2π-periódusú függvény felbontható végtelen Fourier-sorra, azaz a függvény értéke közelíthető a sinus- és cosinus-alakú összeggel. A legismertebb formában a f(x) = a0/2 + ∑_{n=1}^∞ [an cos(nx) + bn sin(nx)], ahol a0, an és bn a periodikus f függvénykoefficiensei. Ezeket a koefficienseket egy perióduson végzett integrálokkal számítjuk ki: a0 = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) dx; an = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) cos(nx) dx; bn = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) sin(nx) dx.

Dirichlet-feltételek mellett a Fourier-sor konvergál a függvényértékre a folytonos pontokon, a diszcontinuitásoknál a bal és a jobb értékek átlagához. E feltételek teljesülése esetén a sor a függvényt közelíti, és fontos eszközzé válik a periodikus jelenségek elemzésében. A Tétel megfogalmazása a 19. század elején Joseph Fourier nevéhez fűződik, aki a hővezetés problémáin keresztül vezette be a sorozatos képviseletet.

A Fourier-elmélet kiterjeszthető a nem periodikus függvényekre is Fourier-átalakítással (transzformációval), amely a függvényt frekvencia-spektrumban írja le. E megközelítés során a függvény és annak spektruma közötti kapcsolat elengedhetetlen eszköz a jel- és képfeldolgozásban, a PDE-ken (például hő- és hullámtörvények) való megoldásban, valamint a matematikai analízisben. Fontos kiegészítő fogalmak közé tartozik a Parseval-tétel és a Gibbs-jelenség, amelyek a konvergencia és a megbízhatóság részleteit írják le.