Fouriersorokról

A Fourier-sorozat egy olyan függvénykörről szóló kifejezés, amelyet egy adott, általában 2π periódusú f függvény trigonometrikus alappal írhatunk fel. Ha f meghatározott és integrálható a szokásos intervallumon, akkor a függvényt az alábbi formában írhatjuk fel: f(x) = a0/2 + Σ_{n=1}^∞ [an cos(nx) + bn sin(nx)]. Az an és bn a következő integrálokkal adható meg: an = (1/π) ∫_{−π}^{π} f(x) cos(nx) dx, bn = (1/π) ∫_{−π}^{π} f(x) sin(nx) dx, és a0 = (1/π) ∫_{−π}^{π} f(x) dx. Ezt a sorozatot gyakran exponenciális formában is írják: f(x) ∼ Σ_{n=−∞}^{∞} ck e^{inx}, ahol ck = (1/2π) ∫_{−π}^{π} f(x) e^{−inx} dx.

Historikusan a Fourier-sorokat Joseph Fourier vezette be a hővezetés (fűtés) problémáinak megoldására, és azóta alapvető eszközzé vált a periodikus vagy meghatározott intervallumon értelmezett jelenségek tanulmányozásában. A Fourier-sorozat fontos tulajdonsága, hogy egy megfelelően szabályos f függvényt kifejez trigonometrikus tagok végtelen sorával. Konvergenciai tulajdonságait Dirichlet-feltételek vagy más keverékek írják le: a sorozat a pontokon a f disposizioneja szerint konvergál, és a jump-diszcontinuitások közelében Gibbs-jelenség jelentkezik. L2-szélekben elismert Gauss–Parseval identitás kapcsolja az energiát: ∫ f^2 = összeg az squared coefficients-ból.

Alkalmazások közé tartozik a jel- és képfeldolgozás, a hang- és jelanalízis, illetve a hővezetéshez és más parciális differenciálegyenletekhez kapcsolódó problémák megoldása, ahol a periodikus vagy átalakított határfeltételek természetesek. További általánosítások közé tartozik a Fourier-sor különböző változatai (Negyzetes vagy félszélszeletelt kiterjesztések, komplex forma) és a kapcsolódó Fourier-transzformáció.