Factorielle

La factorielle d’un entier naturel n est le produit des entiers de 1 à n: n! = 1 × 2 × ... × n, avec 0! = 1. C’est une fonction notée n!. Pour n ≥ 1, elle satisfait la relation de récurrence n! = n × (n−1)!. La factorielle Croît rapidement avec n et prend des valeurs entières.

Exemples: 5! = 120, 3! = 6. On peut calculer n! par une multiplication itérative ou récursive; 0! est défini pour permettre les formules combinatoires.

Interprétation combinatoire: n! est le nombre de permutations d’un ensemble de n éléments. Le nombre de k-permutations de n éléments est P(n,k) = n!/(n−k)!. Le nombre de combinaisons sans ordre (sélections de k éléments parmi n) est donné par le coefficient binomial nCk = n!/(k!(n−k)!).

Extensions et variantes: la double factoriale n!! est le produit des entiers de même parité jusqu’à 1 ou 2, par exemple 7!! = 7×5×3×1 et 8!! = 8×6×4×2. La factorielle peut aussi être étendue à des réels ou des complexes via la fonction gamma: n! = Γ(n+1) pour n entier ≥ 0, et Γ(z+1) = zΓ(z). Cette extension permet d’évaluer des «factorielles» hors des entiers.

Applications: les factorielles apparaissent dans les séries (par exemple exp(x) = Σ x^n/n!), en probabilité, en statistiques et en combinatoire. L’origine du terme et de la notation est associée à Christian Kramp (XIXe siècle), qui a popularisé la notation n!.