Exponentialfördelning

Exponentialfördelningen, ibland kallad exponentiell fördelning, är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning som beskriver tiden mellan händelser i en homogen Poisson-process. Den har en enda parameter: hastigheten lambda > 0 (eller skalan theta = 1/lambda). Stödet är x >= 0. Tätheten är f(x) = lambda e^{-lambda x} för x >= 0, och den kumulativa fördelningsfunktionen är F(x) = 1 - e^{-lambda x} för x >= 0.

Mått i denna fördelning: förväntat värde E[X] = 1/lambda och varians Var(X) = 1/lambda^2. Tätheten har minneslös egenskap: för alla s, t >= 0 gäller P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Detta kännetecknar exponentialfördelningen.

Hazardfunktionen h(x) = f(x) / (1 - F(x)) = lambda är konstant, vilket speglar minneslösheten. Parametriseringar: med skala theta = 1/lambda fås E[X] = theta och Var(X) = theta^2.

Exponentialfördelningen är kopplad till Poisson-processen: interarrival-tiderna mellan händelser i en homogen Poisson-process är oberoende exponentialfördelade med hastighet lambda. Summan av k oberoende exponentiella variabler med samma lambda är gammafördelad med formparameter k och hastighet lambda.

Mål och användningsområden: exponentialfördelningen används ofta inom tillförlitlighetsteori, köteori och överlevnadsanalys som modell för väntetider mellan slumpmässiga händelser. Den är också en byggsten i flerstegsmodeller och i Bayesianska analyser.

Möjliga estimationer: MLE för lambda från ett urval x1,...,xn är lambda_hat = n / sum xi. Andra parametriseringar används i praktiken.