Esikonditionoitu

Esikonditionoitu on termi, jota käytetään numeerisessa laskennassa kuvaamaan menettelyä, jossa ongelman muotoa parannetaan käyttämällä esikonditioneria. Tyypillinen muoto on muuttaa lineaarinen järjestelmä Ax = b muotoon M^{-1}Ax = M^{-1}b, jossa M on esikonditionööri. Esikonditionoinnin tavoitteena on alentaa tai hallita konditiota ja parantaa matriisin A spektriä siten, että iteroiviset ratkaisut konvergoituvat nopeammin ja luotettavammin.

Periaate ja vaikutus. Esikonditionointi pyrkii tekemään A:n muodon sellaista, että M^{-1}A on joko lähempänä identiteettiä tai muuten paremmin käyttäytyvä. Tämä nopeuttaa iteroivien menetelmien, kuten Krylov-tilan menetelmien (esimerkiksi GMRES, BiCGSTAB tai Conjugate Gradient), konvergenssia. Samalla pienentynyt konditionaarisuus pienentää iterointi-askelten määrää ja parantaa luotettavuutta suuremmassa osassa ongelmia.

Yleisimmät esikonditionaattorit. Esikonditionointi jaetaan usein jo käytettyihin menetelmiin sen mukaan, millainen on M: Jacobi- tai diagonaalinen esikonditionointi, Gauss-Seidel, sekä epätyypilliset kuten ILU (Incomplete LU) tai Incomplete Cholesky -esikonditionoinnit. Erityisesti harvaäänisesti järjestelmille ja suurille satunnaisille ongelmille näistä ILU- ja Incomplete Cholesky -versiot ovat suosittuja. Jos matriisi A on symmetrisesti positiivisesti määritelty, SPD- tai alkiontason esikonditionointi on usein tehokas vaihtoehto.

Käyttökohteet ja rajoitteet. Esikonditionointi on keskeinen tekniikka suurien harva-asteikkojen lineaaristen järjestelmien ratkaisemisessa sekä joidenkin suurten optimointi- ja simulointiongelmien yhteydessä. Esikonditionöörin valinnan etuna on konvergenssin nopeuttaminen, mutta haittoja ovat väärän tai liian kovan esikonditionoinnin kustannukset sekä se, ettei kaikkien ongelmien kanssa saavuteta parantumista. Esikonditionoinnin onnistuminen riippuu voimakkaasti ongelman rakenteesta ja esikonditionaattorin soveltuvuudesta.