Erotusyhtälöt

Erotusyhtälöt, suomeksi myös differenssiyhtälöt, ovat yhtälöitä, jotka liittyvät peräkkäisten termien arvoihin sarjassa. Ne kuvaavat, miten yksi termi riippuu edellisistä termeistä. Erotusyhtälöitä käytetään mallintamaan ilmiöitä, joissa aika tai tila kehittyy diskreetteinä askelina. Esimerkiksi populaation kasvu, taloudelliset mallit ja fysiikan ilmiöt voidaan kuvata erotusyhtälöillä.

Yksinkertainen erotusyhtälö voi olla muotoa $x_{n+1} = f(x_n)$, missä $x_n$ on sarjan n:s termi ja $x_{n+1}$ on seuraava termi. Funktio $f$ määrittelee riippuvuuden. Jos erotusyhtälö sisältää useita edellisiä termejä, se on tyyppiä $x_{n+k} = f(x_n, x_{n+1}, ..., x_{n+k-1})$. Erotusyhtälöt voidaan luokitella myös lineaarisiksi tai epälineaarisiksi sen mukaan, onko funktio $f$ lineaarinen. Lineaariset erotusyhtälöt ovat usein helpompia ratkaista.

Erotusyhtälöiden ratkaiseminen tarkoittaa yleensä sarjan yleisen termin löytämistä tai sen käyttäytymisen analysoimista pitkällä aikavälillä. Ratkaisut voivat olla analyyttisiä, eli suljetussa muodossa, tai numeerisia approksimaatioita. Erotusyhtälöillä on läheinen yhteys differentiaaliyhtälöihin, sillä ne voidaan ajatella erilaisten differentiaaliyhtälöiden diskreetteinä vastineina.