Epäjatkuvissa

Epäjatkuvuus on matematiikan käsite, jolla tarkoitetaan pistettä, jossa funktio ei ole jatkuva. Funktio f määritellään alueellaan ja on jatkuva pisteessä c, jos raja-arvo lim x→c f(x) on yhtä suuri kuin f(c). Kun tämä ehto ei toteudu, c on epäjatkuva piste ja kokonaisuus, jossa epäjatkuvuuksia esiintyy, sanotaan epäjatkuvuuksien joukoksi tai alueeksi.

Epäjatkuvuuksia luokitellaan tyypillisesti useaan perustyyppiin. Removable- eli korjattavissa oleva epäjatkuvuus syntyy, kun raja-arvo lim x→c f(x) on olemassa ja raja on L, mutta f(c) ei ole sama kuin L (tai f ei ole määritelty arvolle c). Jump-epi­äjatkuvuus syntyy, kun sekä vasen- että oikearajat ovat olemassa, mutta ne eivät ole yhtä suuria. Infinite- eli epäjatkuvuus on, kun raja-arvo kasvaa tai laskee rajatta kohti c (esimerkiksi menettely f(x)=1/x, kun x→0). Oscillatory-epi­äjatkuvuus ilmenee, kun raja-arvo ei ratkea, koska funktio viipuaa usein epäjatkuvasti määränpäässään (kuten f(x)=sin(1/x) x→0].

Esimerkkejä. Heavisidein askelfunktio on epätasainen pisteessä 0: vasen- ja oikearaja ovat erillaisia, eli hyppytason epäjatkuvuus. Funktio f(x)=1/x on epäjatkuva pisteessä 0, jossa raja-arvo on epämääräinen ja funktio kasvaa äärettömän suureksi tai pieneksi. Funktio f(x)=sin(1/x) x→0 on oscillatory-epäjatkuvuus, koska raja-arvo ei koskaan hiljene.

Epäjatkuvuudet vaikuttavat esimerkiksi integraatioon ja derivaattaan sekä funktioiden käyttäytymisen analyysiin. Tutkimuksessa puhutaan usein epäjatkuvuuskoordiaateista ja epätasaisuuuksien määrästä.