Epätäydellisyyslauseet

Epätäydellisyyslauseet ovat Gödelin vuonna 1931 esittämiä tuloksia, jotka koskevat riittävän vahvojen muodollisten järjestelmien perusominaisuuksia. Ne liittyvät erityisesti siihen, voiko matematiikkaan kuuluvat kokoelmat olla sekä anteeksiantamattomasti kaikkivaltiaita että todistusjärjestelmältään loppuun asti johdonmukaisia. Epätäydellisyyslauseet ovat tulleet merkittäviksi siitä, että ne osoittavat teoreettisesti rajoitukset Hilbertin ohjelmalle pyrkiä löytää täydellinen ja perusteellinen aksioomasarja kaikelle matematiikalle.

Ensimmäinen epätäydellisyyslause: Jos T on johdonmukainen ja riittävän vahva aritmetiikan peruslaskennan ilmaisemiseen, niin T sisältää lauseen G, jota T ei pysty todistamaan ja jonka negationkaan T ei pysty todistamaan. Toisin sanoen on totuuksia, joita niiden omassa kielessä esiintyvät totuudet eivät ole todistettavissa käytettävissä aksioomijoukoissa. Gödelin todistus perustuu aritmetilliseen numerointiin ja itsensä viittaamiseen (Gödel-numbering) sekä niin sanottuun kiertokirje- tai kiertoperiaatteen lemmaan.

Toinen epätäydellisyyslause: Ilman epätodennäköisyyttä epäjohdonmukaisuutta, mikäli T on johdonmukainen ja riittävän vahva aritmetiikkaa sisältävä järjestelmä, niin T ei voi osoittaa omaa johdonmukaisuuttaan. Tämä merkitsee, että järjestelmä ei voi sekä olla johdonmukainen että pystyä todistamaan Con(T).

Vaikutukset: Epätäydellisyyslauseet asettavat rajat Hilbertin ohjelmalle ja antavat syvällisen näkökulman matematiikan perustuksiin. Ne soveltuvat kohdemateriaaleihin kuten Peano-aritmetiikka (PA) ja ZF-järjestelmä sekä osoittavat, että täydellisten ja samoja aksioomia koskevien totuuksien kerä ei ole mahdollinen riittävän vahvassa muodollisessa systeemissä. Niiden jälkeen myös kontingentteja näkökulmia on kehitetty esimerkiksi suhteellisuuksien ja johdonmukaisuuden tutkimuksessa sekä Rosserin parannuksissa. Epätäydellisyyslauseet ovat keskeinen osa modernin logiikan ja matematiikan perustusten keskustelua.