Epäjatkuvuudet

Epäjatkuvuudet ovat pisteitä, joissa reaalifunktio ei ole jatkuva. Jatkuvuus kohdassa a tarkoittaa, että raja-arvo lim_{x→a} f(x) on olemassa ja sama kuin funktion arvo f(a). Kun tämä ehto ei toteudu, kohdassa a on epäjatkuvuus. Epäjatkuvuudet voidaan luokitella eri tavoin sen mukaan, miten raja-arvot käyttäytyvät.

Poistettavissa oleva epäjatkuvuus tarkoittaa tilannetta, jossa lim_{x→a} f(x) = L on olemassa ja f(a) on määritelty tai määrittelemätön, mutta se ei ole yhtä kuin L. Tämän epäjatkuvuuden voi korjata määrittämällä f(a) vastaamaan L, jolloin funktio olisi continuity kohdassa a.

Hyppäysepäjatkuvuus (hyppyepäjatkuvuus) toteutuu kun sekä vasen että oikea raja-arvo existoivat, mutta ne ovat erilaiset: lim_{x→a^-} f(x) = L1 ja lim_{x→a^+} f(x) = L2, missä L1 ≠ L2. Tällöin lähestymisellä ei ole yhtä arvoa.

Ääretön epäjatkuvuus tarkoittaa tilannetta, jossa raja-arvo kasvaa tai pienenee rajatta kohti a, eli lim_{x→a} f(x) = ±∞. Silloin funktio ei ole määritelty tai ei lähde kohti mitään rajattua arvoa.

Oscillatorinen eli ei-rajattomasti vaihtuva epäjatkuvuus esiintyy, kun raja-arvo ei edes lähde kohti yhtä arvoa tai välillä muuttuu järjestelmällisesti; tunnettu esimerkki on f(x) = sin(1/x) kun x → 0.

Monet funktiot ovat epäjatkuvuudiltaan rajallisia tai harvinaisia; monotoneille funktioille epäjatkuvuuksien määrä on rajoitettu ja ne ovat usein erillisiä pisteitä. Epäjatkuvuuksilla on keskeinen rooli analyysissä, esimerkiksi integraalien ja derivoituvuuden tarkastelussa.