Ekvivalensklassene

Ekvivalensklassene er de objektene som hører sammen under en gitt ekvivalensrelasjon på en mengde. For et element x i en mengde S defineres ekvivalensklassen [x] som alle y i S som oppfyller x ~ y. Mengden av alle slike klasser kalles ekvivalensklassene til ~, og man kan ofte skrive S/~ for kvotienten av S ved ~.

En ekvivalensrelasjon er definert som refleksiv, symmetrisk og transitiv. Ekvivalensklassene dekker hele S og er disjunkte; hver gjenstand tilhører nøyaktig én klasse. Klassene gir dermed en partisjon av S, og man kan hente ut representanter eller beskrive S ved hjelp av sine klasser.

Eksempler: På heltallene med kongruens modulo n er a ~ b hvis n deler forskjellen a−b. Da får man n ulike klase: [0], [1], …, [n−1], og mengden av disse klassene danner kvotienten Z/nZ. En annen enkel relasjon er likhet, for hvilken hver klasse er en enkel mengde {x}. Ekvivalensklasser opptrer også når man ser på grupper, ringer og andre algebraiske strukturer gjennom kvotientstrukturer.

Notasjon og anvendelser: [a] betegner ofte klassen til a, og S/~ betegner kvotienten. Ekvivalensklassene brukes til å konstruere kvotientstrukturer i algebra, og til å beskrive og forenkle problemer i geometriske og topologiske sammenhenger ved å identifisere like elementer under en gitt relasjon.