Eksponentiaalifunktioita

Eksponentiaalifunktioita ovat f_a(x) = a^x, jossa perusta a on positiivinen luku ja a ≠ 1. Funktion määrittely antaa kartan f_a: R → (0, ∞). Arvot ovat aina positiivisia ja f_a(0) = 1. Perustason ominaisuus on, että a^x voidaan kirjoittaa myös muodossa e^{x ln a}, mikä vetää yhteen eri perusteiden käsittelyn.

Funktion derivoituvuus: f'_a(x) = a^x ln a ja f''_a(x) = a^x (ln a)^2 > 0, joten f_a on kupera kaikilla a > 0, a ≠ 1. Näin ollen se on kasvava, kun a > 1, ja pienenevä, kun 0 < a < 1. Käytännössä f_a kasvaa tai pienenee tasaisesti ja nopeuttaa kasvua suurissa x-arvoissa.

Eksponentiaalifunktion käänteisfunktio on logaritmi: log_a(x). Luonnollinen logaritmi ln x on log_e x. Koska f_a(x) = e^{x ln a}, kytkeytyvät logaritmiin liittyvät identiteetit pätevät yleisesti.

Erityistapaus on exp(x) = e^x, eksponentiaalifunktio luonnollisella perusteella. Sen derivaatta on itse funktio: d/dx e^x = e^x, ja integraali ∫ e^x dx = e^x + C.

Sovelluksia esiintyy monilla aloilla, kuten korkoa korottavissa sijoituksissa, väestönkasvussa sekä radioaktiivisessa hajoamisessa, joissa mallit seuraavat eksponentiaalista käyttäytymistä.