Distributiivisuus

Distributiivisuus (distributiivinen ominaisuus) tarkoittaa kahden binäärisen operaation välistä suhdetta, jossa toinen operaatio jakaa toisen yli. Yleisesti puhutaan vasemman ja oikean distributiivisuuden laeista: a·(b+c) = a·b + a·c ja (b+c)·a = b·a + c·a. Mikäli molemmat laeista pätevät, operaatiot ovat täysin distributiivisia. Distributiivisuus osoittaa, että yhteenlaskun ja kertolaskun yhdistäminen on sallitua ja laskut voi yksinkertaistaa.

Yleinen konteksti ja merkitys: distributiivisuus on keskeinen osa monien algebraisten rakenteiden määrittelyä, erityisesti renkeissä ja algebrallisissa rakenteissa, joissa kertolasku ja yhteenlasku ovat määriteltyjä. Sen avulla lausekkeita voidaan sieventää ja tuloksia voidaan muokata loogisesti oikealla tavalla.

Esimerkkejä:

- Kokonaisluvut Z: a(b+c) = ab + ac ja (b+c)a = ba + ca.

- Polynomien kertolasku: p(x)(q(x)+r(x)) = p(x)q(x) + p(x)r(x).

- Matriisikertolasku: A(B+C) = AB + AC ja (A+B)C = AC + BC, kun matriisit on määritelty yhteenlaskulle.

Rajoitteita: on olemassa algebraisia rakenteita, joissa distributiivisuus ei päde kaikissa tapauksissa; tällaisia ovat esimerkiksi joissakin ei‑distributiivisissa lattialevyissä. Siksi on tärkeää määritellä tarkasti, missä rakenteessa kyseistä ominaisuutta käsitellään.

Distributiivisuudella on käytännön merkitys laskujen ja symbolisen manipulaation turvallisuudessa sekä teoreettisessa algebraopissa.