Dispersioyhtälöitä

Dispersioyhtälöt ovat matemaattisia suhteita, jotka määrittelevät aallon taajuuden ω:n ja aallon luvun k välisen riippuvuuden. Niitä syntyy, kun ratkaistaan aaltojen perusyhtälöt, kuten Maxwellin yhtälöt materiaalin ominaisuuksilla tai Schrödingerin yhtälö eri järjestelmissä. Dispersion kuvaa sitä, miten eri taajuudet etenevät eritahtisesti ja miten aallon ryhmittyminen sekä nopeudet riippuvat taajuudesta.

Yleisimmät käsitteet ovat vaihenopeus ja ryhmänopeus. Vaihenopeus on v_p = ω/k, ryhmänopeus v_g = dω/dk. Jos ω on lineaarinen funktio k: ω = v k, dispersiota ei esiinny ja kaikki taajuudet etenevät samalla nopeudella. Kun ω(k) ei ole lineaarinen, esiintyy dispersiota, eli eri taajuudet kulkevat eri nopeuksilla. Esimerkkejä: tyhjiön elektromagneettiset aallot noudattavat ω = c k eli eivät dispersioudu; aineissa refraktiokertoimet n(ω) aiheuttavat vaihe- ja ryhmänopeuksien eron, v_p = c/n(ω) ja v_g = dω/dk. Plasmapäällä elektromagneettisten aaltojen dispersion on usein ω^2 = ω_p^2 + c^2 k^2.

Käyttökohteita ja merkitys ovat laajat: optiikassa ja fotoniikassa dispersio auttaa suunnittelemaan suodattimia ja aaltoputkia sekä ymmärtämään signaalien muotoutumista; plasma- ja ainefysiikassa dispersion kuvaa aaltojen kulkua monimutkaisissa medioissa; solid state -fysiikassa elektronien ja phononien kulku liittyy E(k)-rakenneisiin. Dispersioyhtälöt tarjoavat työkalun aaltojen ja signaalien ennakointiin sekä kokeelliseen tulkintaan.