Dilatatsioonid

Dilatatsioonid on geomeetriline transformatsioon, mille korral kujundid suurenevad või vähenevad keskpunkti O ümber ühe skaleerimisfaktori k alusel. Iga punkti P jaoks leitakse P' selliselt, et P, O ja P' on rivis ning OP' = k · OP. Kui k on positiivne, pildi kuju säilitab orientatsiooni; kui k on negatiivne, pildi asend pöörleb ning kujund on vastupidine.

Dilatatsiooni põhiline definitsioon annab ka lihtsa koordinaatavalemi: kui keskpunkt on (a, b) ja k on skaleerimisfaktor, siis punkti P = (x, y) jaoks on P' = (a + k(x − a), b + k(y − b)). Sel viisil on dilatatsioon lineaarne transformatsioon, mis hõlmab nii suurendamist kui vähendamist sõltuvalt k väärtusest.

Omadused. Dilatatsioonid on ühe ühtse keskpunkti suhtes sissetõmmatud või laienevad ülestõstetud kujundid, kuid nad on sama kuju asemel suurusega. Nad säilitavad sirglõikude suhtelisuse ja kiirendikeskusest lähtudes lõikude suhtelised vahekorrad on säilinud; ning kollineaarsus ja nurgad on säilinud vastavalt definitsioonile kui k > 0. Linete ja punktide pildid on samal ajal kooskõlasolevad ning lõigud, mis ei läbi keskpunkti, saavad pildi, mis on originaaliga paralleel.

Üldine jaotus. Dilatatsioon on üks homothetia tüüpidest, mis on tüüpiline suurendatavate ja vähendatavate kujundite korral. See on ka erijuht Simili- transformatsioon, mille keskpunkt ja skalaar määravad, kui palju kujundid suurenevad või vähenevad.

Rakendused. Dilatatsioone kasutatakse geomeetriliste ülesannete lahendamisel, arvutigraafikas, arhitektuuris ning kaardistus- ja skaalaprobleemide modelleerimisel. Nende abil saab kujundite suhtelist suurust muuta ilma kuju kaotamata.