Dilataatioita

Dilataatio on geometrinen muunnos, jolla kuvaa suurennetaan tai pienennetään suhteessa kiinteään pisteeseen, jonka nimitetään dilataation keskipisteeksi. Merkitään O ja mittakaavakerrointa k, jossa k ≠ 0. Jokainen piste P kartoitetaan P':n siten, että P' on samalla OP-linjalla ja OP' = k · OP. Keskipiste O pysyy paikoillaan; P = O antaa P' = O.

Algebraisesti dilataatio TO,k x voi kirjoittaa hyvin muodossa T(x) = O + k (x − O) (2-ulotteisessa tai yleisemminkin n-ulotteisessa tilassa). Jos k > 0, muunnos on suuntansa säilyttävä samankaltaisuus; jos k < 0, muunnos sisältää 180 asteen kiertymän, mutta lopullinen kuva on silti samankaltainen.

Geometriset ominaisuudet ovat pysyviä: kaikki viivat säilyvät linjoina; viivat, jotka kulkevat O:n kautta, kartoituvat itseensä, lineaarisesti pienennettyinä tai suurennettuina samalla suuntaviivalla. Viivat, jotka eivät kulje O:n kautta, kartoituvat pienennettyinä tai suurennettuina ja ovat alkuperäisen linjan kanssa yhdensuuntaisia. Kulmat sekä suhteelliset mittasuhteet säilyvät, joten dilataatio on samankaltaisuus. Alueiden pinta-ala skaalautuu k^2-kertaiseksi.

Käyttö ja konteksti: dilataatioita voidaan yhdistellä tai kertoa, jolloin syntyy uusi dilataatio saman keskuksen ja kertoluvun tuottama muunnos. Sitä käytetään kuviin ja malleihin, joissa halutaan korostaa mittasuhteita tai verrata figuurien koon eroja. Dilataatioita käytetään sekä geometriassa että sovelluksissa, joissa skaalataan kartoituksia ja malleja.