Differentiayhtälöt

Differentiayhtälöt ovat matemaattisia yhtälöitä, jotka yhdistävät funktion sen derivaatan tai useiden derivaattojen kanssa. Ne ovat keskeinen työkalu monilla tieteen ja tekniikan aloilla, koska ne kuvaavat ilmiöitä, joissa muutosnopeus on tärkeä. Yksinkertaisin esimerkki on ensimmäisen kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö, jossa funktio riippuu vain yhdestä muuttujasta ja sen ensimmäisestä derivaatasta. Esimerkiksi $\frac{dy}{dx} = ky$ kuvaa eksponentiaalista kasvua tai vähenemistä, missä $k$ on vakio.

Toisen kertaluvun yhtälöt sisältävät funktion toisen derivaatan. Niitä käytetään esimerkiksi värähtelyjen mallintamiseen, kuten yksinkertaisessa harmonisessa oskillaattorissa. Useampia muuttujia sisältävät yhtälöt ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, joissa funktio riippuu useista muuttujista ja sen osittaisderivaatoista. Esimerkkejä ovat lämmönjohtumisyhtälö ja aaltoyhtälö.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen tarkoittaa funktion löytämistä, joka toteuttaa yhtälön. Ratkaisut voivat olla yleisiä, sisältäen vakiotermejä, tai erikoistuneita, kun annetut alku- tai reunaehdot rajaavat ratkaisua. Ratkaisumenetelmiä on monia, kuten separointi, integroiva tekijä, sarjakehitelmät ja numeeriset menetelmät. Numeeriset menetelmät ovat erityisen tärkeitä, kun analyyttinen ratkaisu on mahdoton tai liian monimutkainen löytää.