Differentialfordelinger

Differentialfordelinger refererer til sannsynlighetsfordelingen til variabelen som dannes ved å ta forskjellen mellom to tilfeldige variabler, ofte D = X - Y. Dette kalles også for fordelingen av forskjeller og kan behandles som en konvolusjon mellom fordeler av X og den speilvendte fordelen til Y.

For kontinuerlige variabler med tettheter f_X og f_Y, og hvis X og Y er uavhengige, er tettheten til D gitt ved h(d) = ∫ f_X(x) f_Y(x - d) dx. Dette er samme som konvolusjonen av f_X med f_{-Y}, der f_{-Y}(t) = f_Y(-t). For diskrete variabler med sannsynlighetsfunksjoner p_X og p_Y, blir p_D(d) = ∑ p_X(x) p_Y(x - d).

Når X og Y er uavhengige og har middelverdier μ_X, μ_Y og varianser σ_X^2, σ_Y^2, vil D ha forventning μ_D = μ_X - μ_Y og varians σ_D^2 = σ_X^2 + σ_Y^2. Et vanlig spesialtilfelle er at X og Y er normalt fordelt; da er D også normal med μ_D og σ_D^2. For eksempler som X og Y uavhengige standardnormaler, er D også standardnormal justert etter differansen i middelverdier og legges til varianssummen.

Metoder for beregning av differentialfordelinger inkluderer numerisk integrasjon, konvolusjon via FFT, og Monte Carlo-simulering når lukkede former ikke finnes. Anvendelser finnes i signalbehandling, måleenøyaktigheter, risikoanalyse og tidsserier, der man ofte er interessert i fordelingen av endringer mellom to målinger eller tilstander.