Differentiaalimuoto

Differentiaalimuoto on matemaattinen käsite, joka yleistää skalaaripintoja, vektoreita ja vektorikenttiä. Ne ovat olioita, joita voidaan integroida moniulotteisissa avaruuksissa. Differentiaalimuotoja käytetään erityisesti differentiaaligeometriassa ja differentiaaliyhtälöissä.

Yleisimmät differentiaalimuodot ovat nollamuodot, ykkösmuodot ja kakkosmuodot. Nollamuoto on yksinkertaisesti skalaarifunktio. Ykkösmuoto voidaan ajatella gradienttina, ja kakkosmuoto liittyy pintaintegraaleihin. Yleisemmin k-muoto on olio, joka ottaa k vektoria syötteenä ja palauttaa skalaarin, ja se on lineaarinen ja ulostyönnetty jokaisen syötevektorin suhteen.

Differentiaalimuotoja voidaan summata ja kertoa ulkoisella tulolla, joka on yleistys ristitulosta. Ulkoinen tulo kahdelle differentiaalimuodolle pienentää niiden astelukua. Differentiaalimuotojen integrointi tapahtuu käyttämällä Stokesin lausetta, joka yhdistää korkeampiulotteisen integraalin matalampiulotteiseen integraaliin. Stokesin lause on erittäin tärkeä työkalu monissa fysiikan ja matematiikan sovelluksissa. Esimerkiksi Maxwellin yhtälöt ja gravitaatioteoria voidaan ilmaista elegantisti differentiaalimuotojen avulla. Differentiaalimuotojen avulla voidaan myös tutkia monimutkaisten topologisten avaruuksien ominaisuuksia.