Differenciálszámítás

A differenciálszámítás a matematika elemzési ága, amely a változások ütemét és hatásait vizsgálja. Fő fogalma a derivált, amely egy függvény lokális ütemváltozását adja meg, és geometriailag a görbe érintőjének meredekségét hordozza. A differenciálás során kis inputváltozásokból megjósolhatók a kimeneti változások.

Egy valós változóra függvényénél a derivált f'(x) a határérték: f'(x) = lim h→0 [f(x+h) − f(x)] / h. A derivált a lineáris közelítés szerint f(x+h) ≈ f(x) + f'(x) h, és a görbe érintőjének meredekségét adja.

A legfontosabb szabályok közé tartozik a hatvány-, állandó, összeadás, szorzat, hányados és láncszabály. Ezek segítségével polinomok és összetett függvények deriváltait könnyen kiszámítható. A deriváltak alkalmazásához kapcsolódnak a középérték-tételek és a görbe viselkedésének összefüggései.

Többváltozós differenciálásban részdifferenciálok, grádiensek és irányított deriváltak fontosak. A Jacobian- és Hessian-mátrixok a többváltozós függvények helyettesítéséből adódó jellegzetességeket írják le; a láncszabály itt is érvényes.

A differenciálszámítás története a 17. században Newton és Leibniz munkáira vezethető vissza, a későbbiekben a limit fogalom és a formal kalkulus fejlődött ki. A differenciálás és integrálás összekapcsolását az integrálás főtétele biztosítja.

Alkalmazási területei közé tartozik a fizika (mozgás, erőhatások), mérnöki tervezés és optimalizálás, közgazdaságtan (marginalitás, költség-optimalizálás), biológia és számítástechnika.