Differenciálhatóak

Differenciálhatóak a matematikában olyan függvények vagy leképezések, amelyek adott pontban vagy adott tartományon megvannak a megfelelő lineáris közelítéséi. Pontosabban egy f: U ⊆ R^n → R^m függvény differenciálható egy pontban x0, ha létezik Df(x0): R^n → R^m olyan lineáris leképezés, amelyet a határozott közelítés ír le: f(x0 + h) = f(x0) + Df(x0)h + o(||h||) amikor h → 0. Ha ez a tulajdonság a teljes U-n fennáll, akkor f differenciálható az egész tartományában. Ezt gyakran Fréchet-differenciálhatóságnak nevezzük; a gyakorlatban néha Gateaux-differenciálhatósággal is találkozunk, amely gyengébb fogalom.

A differenciálhatóság fontos összefüggésekkel jár a kontinuitással és a deriváltakkal. Minden differenciálható függvény kontinuus, és a differenciál Df(x) a helyi lineáris közelítés, amelyet a deriváltként is szokás érteni. Ha a deriváltak folyamatosak, a függvény osztályba sorolható C^1-nek; ha a deriváltak végtelen számú rendben lépésenkénti módon léteznek és folyamatosak, akkor C^∞ vagy analitikus.

Példák: polinomok és polinomszerű leképezések differenciálhatóak minden pontban. Nem differenciálható példák közé tartozik az f(x) = |x| a 0-nál vagy a f(x,y) = |x| + |y| a középpontban.

A differenciálhatóságot gyakran alkalmazzák deriváltak számítása, láncszabály, optimalizáció és geometriában, például differenciálható manifoldok és tangent terek vizsgálatakor.