Differansekvotienten

Differansekvotienten, eller difference quotient, er forholdet mellom endringen i verdien av en funksjon og endringen i x: D_h f(x) = (f(x+h) - f(x)) / h, der h er et ikke-null tall. Den uttrykker gjennomsnittlig endringsrate over intervallet fra x til x+h og er sentral i kalkulus fordi den gjelder som definisjonen av den deriverte når h går mot null.

Formelt gjelder det for en funksjon f som er definert på et intervall som inneholder både x og x+h. Den deriverte eksisterer hvis grensen lim_{h→0} D_h f(x) eksisterer, og da er f'(x) lik denne grensen. Den gir stigning til tangentlinjen tilgrafen ved x og beskriver øyeblikkelig endring.

Vanlige varianter inkluderer forward difference (h > 0), backward difference (h < 0) og symmetric difference quotient (f(x+h) - f(x-h)) / (2h). Den symmetriske forskjellskvotienten gir ofte bedre tilnærming til den deriverte og har feilordenen O(h^2) for glatte funksjoner.

Generaliseringer omfatter flervariable funksjoner. Partielle differansekvotienter i en gitt retning v, (f(x+hv) - f(x)) / h, konvergerer til retningens retning når h → 0, og gir retningen til den deriverte (direksjonalderivert). Den totale deriverte og gradienten beskriver en lineær tilnærming av f i nærheten av x.

Anvendelser inkluderer å etablere differentiabilitet, konstruere tangenter og numerisk differensiering. Enten f er differentiell i x, konvergerer differansekvotienten mot f'(x); ellers kan grensen ikke eksistere. Begrepet er grunnleggende i analyse og brukes i fysikk, ingeniørfag og numerisk beregning.