Diferenssiyhtälöissä

Diferenssiyhtälöissä ovat matemaattisia yhtälöitä, jotka liittyvät funktioiden arvoihin eri pisteissä. Ne ovat diskreettejä vastineita differentiaaliyhtälöille, joissa funktioiden derivaattoja käytetään. Diferenssiyhtälöissä esiintyy yleensä funktio itse ja sen vierekkäisten arvojen erotuksia. Yleinen muoto diferenssiyhtälölle on $y_{n+1} = f(y_n, n)$, missä $y_n$ on funktion arvo pisteessä $n$ ja $f$ on jokin funktio.

Diferenssiyhtälöitä käytetään monilla aloilla, kuten fysiikassa, taloustieteessä, biologiassa ja tietojenkäsittelytieteessä. Niitä voidaan käyttää mallintamaan tilanteita, joissa muutokset tapahtuvat diskreeteissä aikaväleissä, esimerkiksi populaation kasvua, sijoitusten arvon kehitystä tai digitaalisten signaalien käsittelyä. Diferenssiyhtälöiden ratkaiseminen tarkoittaa yleensä yleisen ratkaisun löytämistä, joka tyydyttää yhtälön kaikilla $n$ arvoilla, usein alkuehtojen avulla. Ratkaisut voidaan löytää analyyttisesti tai numeerisin menetelmin. Lineaariset diferenssiyhtälöt, joissa funktio $f$ on lineaarinen $y_n$:n ja $n$:n suhteen, ovat erityisen tärkeitä ja niille on olemassa vakiintuneita ratkaisumenetelmiä.