Diagonaliserbarhed

Diagonaliserbarhed er en egenskab ved en kvadratisk matrix A over et felt F. A er diagonaliserbar, hvis der findes en invertibel matrix P og en diagonal matrix D sådan at P^{-1}AP = D. Det betyder, at A er lignende en diagonal matrix og derfor har en basis af egenvektorer.

Over et felt F gælder, at A er diagonaliserbar hvis og kun hvis den mindste polynomium af A har ingen gentagne rødder. Dette gælder især over en algebraisk lukket krop som ℂ. En anden måde at udtrykke det på er, at summen af dimensionerne af alle eigenrum for alle eigenværdier er lig med n, hvor n er matrixens størrelse.

Et praktisk kriterium er, at A er diagonaliserbar hvis den har n forskellige eigenværdier. Hvis en eigenværdi λ har algebraisk multiplicitet m, skal den tilhørende geometriske multiplicitet også være m for alle λ.

Over ℝ gælder diagonalisering over realt felt kun hvis alle egenværdier er reelle og der findes tilstrækkeligt mange egenvektorer. Over ℂ kan en matrix være diagonaliserbar selv hvis nogle eigenværdier er ikke-reelle; i så fald findes en kompleks basis af egenvektorer og A er diagonaliserbar over ℂ.

Eksempler og kommentarer: Den identitetsmatrix er diagonaliserbar, og alle diagonale matricer er diagonaliserbare. Symmetriske reelle matricer er altid diagonaliserbare ved ortogonal transformation (spectralteoremet). Ikke-diagonaliserbare eksempler findes i Jordanblokke af størrelse større end 1, f.eks. [[λ, 1], [0, λ]].