Diagonalisaatio

Diagonalisaatio on lineaarialgebran käsite, jossa neliömatriisi A voidaan esittää muodon A = P D P^{-1}, missä P on invertible ja D on diagonaalinen. Tällöin P:n kolonnit ovat A:n ominaisvektoreita ja D sisältää vastaavat ominaisarvot λ_1, …, λ_n diagonaalilla.

Toisin sanoen A on diagonalisoitavissa, kun sillä on riittävästi lineaarisesti itsenäisiä ominaisvektoreita, eli jokaiselle ominaisarvolle λ määritelty ominaisvektorit muodostavat perusjoukon. Tämä tapahtuu, jos ja vain jos jokaisen λ:n geometrista kertalukua m_g(λ) vastaa algebraista kertalukua m_a(λ). Yhteensä riittävä lukumäärä on n.

Laskenta tapahtuu etsimällä ominaisarvot ratkaisemalla det(A − λI) = 0, saatujen arvojen mukaan ratkaisemalla (A − λI) v = 0 ominaisvektoreille v. Kun ominaisvektorit ovat tunnettuja, muodostetaan P näillä v:illä sarakkeittain ja D sen vastaavilla λ-arvoilla. Sitten P^{-1} A P = D.

Erityisesti todettakoon, että reaalisia symmetrisiä matriceja A voidaan käyttää ortogonaalista diagonaatiota varten: jos A on reaalinen symmetrinen, on olemassa ortogonaali P siten, että P^T A P on diagonaalinen. Tällöin P^T = P^{-1} ja ominaisvektorit voidaan valita kohtisuoriksi.

Rajoitteet: ei kaikilla matriiseilla ole riittävästi lineaarisesti itsenäisiä ominaisvektoreita, jolloin A ei ole diagonalisoitavissa ja joudumme käyttämään Jordan-sijaintia tai Schur-dekompositiota. Esimerkkinä on 2×2 Jordan-lohko.

Käytännön sovelluksia ovat matriisin potenssien laskeminen A^k, eksponentiaalien ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen yksinkertaistaminen sekä dynaamisten järjestelmien analysointi.