Diagonalelementene

Diagonalelementene er innholdet langs hoveddiagonalen i en kvadratisk matrise. For en matrise A ∈ R^{n×n} består diagonalelementene av a_11, a_22, ..., a_nn, altså de verdiene som ligger fra øverste venstre hjørne til nederste høyre hjørne. Hvis matrisen ikke er kvadratisk, finnes det ikke en definert hoveddiagonal i samme betydning.

Notasjon og begreper: diag(A) brukes ofte for å referere til vektoren av diagonalelementene, mens diag(a_11, a_22, ..., a_nn) er en diagonal matrise som har disse verdiene på diagonalen og nuller ellers. Mange egenskaper knytter seg til diagonalelementene gjennom sporet og determinantet.

Egenskaper: For en diagonal eller trekantet matrise er determinanten produktet av diagonalelementene. Sporet tr(A) er lik summen av diagonalelementene. Diagonalelementene er ikke i seg selv like eigenverdiene til en generell matrise. Hvis A er diagonaliserbar og A = P^{-1}DP med en diagonal matrise D, vil diagonalelementene i D være eigenverdiene til A. Likevel kan diagonalelementene endre seg under en likhetstransformasjon, mens sporet og determinanten forblir invarians.

Anvendelser: Diagonalelementene brukes i beregning av sporet og determinantet, og i analyser av matriser i numerisk lineær algebra. De spiller også en rolle i matrixtransformasjoner og i forståelsen av hvordan eigenverdier vises i diagonaalisert form for diagonaliserbare matriser.