Diagonaaleja

Diagonaaleja on termi, jota käytetään useissa matematiikan osa-alueissa. Sillä on erilaisia konteksteja, kuten geometriassa ja lineaarialgebrassa.

Geometriassa monikulmion diagonaali on viiva, joka yhdistää kaksi ei-sivussa olevaa kärkipistettä. Jos monikulmion kärkiä on n, diagonaaleja on yhteensä n(n-3)/2. Convex-monikulmioissa diagonaalit ovat sisäpuolella; koverissa (concave) monikulmioissa osa diagonaaleista voi kulkea monikulmion ulkopuolella.

Lineaarialgebrassa diagonaali tarkoittaa yleensä päädiagonaalia, eli niitä alkioita, joiden rivin ja sarakkeenumerot ovat yhtä (a_ii). N×N-matriisissa päädiagonaalilla on n alkioita. Lisäksi voidaan puhua anti-diagonaalista (a_i,n+1-i) sekä diagonaaleista, jotka kulkevat päädiagonaalin suuntaisesti ja ovat sen kanssa parallel (offset-diagonaalit).

Diagonaalien käsite yhdistää nämä kaksi kontekstia: ne ovat sekä geometrian viivoja että matriisien koordinaatteja, joiden ominaisuudet vaikuttavat esimerkiksi monikulmioiden rakenteen tutkimiseen sekä matriisien trace-arvon ja muiden rakenteellisten ominaisuuksien ymmärtämiseen. Käytännön laskuissa diagonaaleja hyödynnetään sekä kuviin liittyvissä geometrian tehtävissä että lineaarialgebran ongelmissa, kuten matriisien rakenteen analysoinnissa.