Delmängder

En delmängd av en mängd B är en mängd A där varje element i A också finns i B. Denna relation betecknas ofta med A ⊆ B och säger att A är inneboende i B eller att A är en delmängd av B. En delmängd kan vara lika med B; en delmängd som inte är lika med B kallas riktig delmängd, ofta skriven som A ⊊ B eller A ⊂ B i vissa källor.

Exempel: Låt A = {1, 2} och B = {1, 2, 3, 4}. Då är A ⊆ B och A ≠ B, så A är en riktig delmängd av B. Den tomma mängden ∅ är delmängd av varje mängd, och varje mängd är delmängd av sig själv (A ⊆ A).

Egenskaper och samband: Delmängdrelationen är en partiell ordning på mängder. Den är reflexiv (A ⊆ A), antisymmetrisk (om A ⊆ B och B ⊆ A så är A = B) och transitiv (om A ⊆ B och B ⊆ C så är A ⊆ C). Om A ⊆ B så gäller även att |A| ≤ |B|, och lika med tecken uppträder när A = B. Powersetet P(S) består av alla delmängder av S och har storlek 2^|S|.

Notationsnyanser: Vissa författare använder ⊂ för delmängd och ⊊ för riktig delmängd, medan andra skiljer åt endast genom sammanhang. Kontrollera konvention i varje källa.

Användningar: Delmängder är grundläggande inom mängdteori, logik, bevisföring, datavetenskap och matematiska konstruktioner. De används i Venn-diagram, definierar underkategorier och stödjer operationer som union, snitt och komplement.