Delmängdrelationen

Delmängdrelationen är den binära relationen mellan två mängder A och B där A är en delmängd av B, betecknad A ⊆ B. Detta innebär att varje element som tillhör A också tillhör B. Relationen definieras vanligtvis på en universell mängd U, och A och B är delmängder av U. Denna relation kan också tillämpas på familjer av mängder eller i mer abstrakta sammanhang.

Egenskaperna hos delmängdrelationen gör den till en partiell ordning. Den är reflexiv eftersom varje mängd är en delmängd av sig själv (A ⊆ A). Den är antisymmetrisk: om A ⊆ B och B ⊆ A så är A = B. Den är transitiv: om A ⊆ B och B ⊆ C så A ⊆ C. Dessa egenskaper gäller när man betraktar delmängder av samma universum. Den strikta motsvarigheten, A ⊊ B, beskriver en riktig delmängd och är irreflexiv och transitiv.

Exempel: Låt U vara {1, 2, 3}, A = {1, 2} och B = {1, 2, 3}. Då A ⊆ B men A ⊊ B, eftersom B innehåller fler element än A.

I mängdteori bildar delmängdrelationen en struktur där hela kraftmängden P(U) med relationen ⊆ blir ett partiellt ordnat lattice. Här fungerar unionen som join (den största gemensamma översträckningen) och snittet som meet (den största gemensamma understräckningen). Tomma mängden är botten och U är topp. Storleken följer monotoni: om A ⊆ B så är |A| ≤ |B|.

Delmängdrelationen används inom logik, informationsteori, databashantering och bevisteori för att jämföra innehåll och definiera hierarkier av mängder.