Convolutie

Convolutie is a mathematical operation that combines two functions to produce a third function. For continuous functions f and g, their convolution is (f * g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t − τ) dτ. In discrete form, for sequences f[n] and g[n], (f * g)[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} f[k] g[n − k].

Interpretarea ca suprapunere; ea măsoară cât de mult se suprapun f și o versiune inversată și deplasată a lui g. În procesarea semnalelor, convoluția cu o impuls răspunsului modelează filtrarea sau răspunsul unui sistem liniar șiinvariant în timp; în imagini, convoluția 2D cu un kernel (filtru) produce imagini estompate, aspre sau filtrate în diferite moduri.

Proprietăți cheie: convoluția este comutativă, asociativă și distributivă față de adunare. Dirac delta δ satisface f * δ = f; convoluția cu o delta deplasată produce o versiune deplasată a lui f, ilustrând rolul său ca element de identitate în sens distribuțional.

În domeniul frecvențelor, teorema convoluției afirmă că transformata Fourier a unei convoluții este produsul punct cu punct al transformatelor Fourier ale lui f și g: F{f * g} = F{f} · F{g}, cu transformata inversă care recuperează semnalul original. Relații similare există și pentru transformata Fourier discretă, utilizate pe scară în prelucrarea digitală a semnalelor.

Aplicații: în inginerie, fizică și statistică, convoluția este esențială în procesarea semnalelor și imaginilor, în rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu funcții Greens, și în determinarea distribuției sumelor variabilelor aleatoare independente, prin convoluția densităților. Din punct de vedere numeric, FFT-urile accelerează semnificativ calculul convoluțiilor.

---