Cayleyteoremet

Cayleyteoremet, eller Cayleys teorem, er et grunnleggende resultat i abstrakt algebra som sier at enhver gruppe kan representeres som en undergruppe av en symmetrisk gruppe. For en hvilken som helst gruppe G finnes en injektiv gruppehomomorfisme fra G til Sym(G), den symmetriske gruppen av alle bijeksjoner fra G til G. Det betyr at G er isomorf med en undergruppe av permutasjonene av settet G.

Mer spesifikt defineres L_g: G → G som L_g(x) = gx for hvert g i G. Funksjonen g ↦ L_g er en homomorfisme fra G til Sym(G), og den er injektiv fordi hvis L_g er den idestore, så gx = x for alle x i G, og spesielt g = e. Dermed er G isomorf med bildet L_G = {L_g : g i G} ≤ Sym(G). Dette bildet kalles ofte den venstre-regulære representasjonen av G. For et endelig G har vi derfor en innbikking G → S_n med n = |G|.

Konsekvenser og anvendelser: Hver gruppe kan realiseres som en gruppe av permutasjoner, noe som gir et konkret rammeverk for å studere gruppe-egenskaper gjennom permutasjonsgrupper. Cayleys teorem ligger til grunn for representasjonsteori og teorien om gruppehandlinger, og brukes ofte for å hente inn befintlige beviser ved å arbeide med permutasjoner i stedet for mer abstrakte gruppeoperasjoner. Teoremet gjelder både for endelige og uendelige grupper og gjelder uansett hvilket sett g G består av.

Historie: Teoremet er oppkalt etter Arthur Cayley, som publiserte resultatet i midten av 1800-tallet (ca. 1854).