gruppeegenskaper

Gruppeegenskaper er egenskaper ved matematiske grupper i abstrakt algebra. En gruppe består av et sett G og en binær operasjon (⋅) som tar to elementer fra G og gir et element i G. For at G skal være en gruppe må den oppfylle fire krav: lukkhet, assosiativitet, identitetselementet og invers for hvert element. En gruppe kan være abelsk (kommutativ) hvis x⋅y = y⋅x for alle x og y i G.

Grupper kan være finite eller uendelige. Ordenen til en gruppe er antallet elementer i G. For et element g i G er ordet til g det minste positive tallet n slik at g^n = e. Hvis G er finite, gjelder at ordet til hvert element deler gruppens orden (Lagranges teorem).

Undergrupper er ikke-tomme delmengder som er lukket under operasjonen og som inneholder identiteten. Normale undergrupper er undergrupper N der gN = Ng for alle g i G, og de gir faktorgruppen G/N, som også er en gruppe.

Homomorfier mellom grupper bevarer operasjonen: f(xy) = f(x)f(y). Med kjerne og bilde kan man se at G / ker f ≅ im f (første isomorfiteorem).

Generatorer og presentasjoner beskriver hvordan en gruppe bygges fra et sett generatorer og relasjoner. En gruppe som genereres av ett element kalles syklisk. Abelske grupper er grupper der operasjonen er kommutativ.

Eksempler inkluderer (Z, +) som en uendelig syklisk gruppe, og symmetriske grupper S_n som beskriver permutasjoner, samt dihedralgrupper.