Cauchyfeszültségtensor

Cauchyfeszültségtensor

A Cauchyfeszültségtensor, más néven feszültségtenzor, egy matematikai objektum, amely egy rugalmas közegben vagy szilárd testben fellépő belső feszültségeket írja le. Georg August Cauchy francia matematikusról nevezték el. A tenzor segítségével meghatározható a közeg bármely pontjában és bármely irányban ható feszültségvektor.

A Cauchyfeszültségtensor egy másodrendű tenzor, amelyet általában a következő alakban írnak fel:

$\sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix}$

ahol $\sigma_{ij}$ a feszültségkomponenseket jelöli. Az indexek közül az első az erő irányát, a második pedig a felület normálisának irányát jelöli, amelyen az erő hat. Például a $\sigma_{11}$ komponens az x-irányú feszültséget jelenti az xy-síkra merőleges felületen. A $\sigma_{12}$ komponens az x-irányú feszültséget jelenti az yz-síkokra merőleges felületen. Az első két index felcserélése, azaz $\sigma_{ij}$ és $\sigma_{ji}$ értékek megegyeznek az egyensúlyi feltételek miatt (momentumbilus).

A tenzor szimmetrikus, vagyis $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$. Ez azt jelenti, hogy hat elemmel írható le a 3D térben. A Cauchyfeszültségtensor alapvető szerepet játszik a szilárdtestmechanikában, a rugalmasságtanban és az anyagok szilárdságának vizsgálatában. Segítségével kiszámítható, hogy egy adott terhelés hatására az anyagban milyen feszültségek keletkeznek, és hogy az anyag meddig bírja a terhelést repedés vagy törés nélkül.