Béziergörbék

A Béziergörbék olyan paraméteres görbék, amelyeket vezérlőpontok sorozata határoz meg. Nevüket Pierre Bézierről kapták, aki a 1960-as években népszerűsítette ezeket a számítógépes tervezésben, míg a matematikai alapok a de Casteljau-folyamatban és Bernstein-polynomokban gyökereznek.

Egy n-ed fokú Bézier-görbe P0, P1, ..., Pn vezérlőpontokkal van megadva a következő formában: B(t) = Σ_{i=0}^n B(n,i,t) Pi, ahol 0 ≤ t ≤ 1 és B(n,i,t) = binomial(n,i) t^i (1−t)^{n−i}. A gyakorlati használatban a 3. fokú, azaz a kocka Bézier-görbe a legGYakoribb, amelyet négy pont határoz meg. A görbe végpontjai B(0) = P0 és B(1) = Pn, továbbá a kezdeti és végső érintő iránya a P1−P0, illetve a Pn−1−Pn különbségekből adódik. A konvex hull elve szerint a görbe minden pontja a vezérlőpontok konvex kombinációja, ami stabilitást és előre becsülhetőséget biztosít.

A számítástechnikai értékeléshez és előállításához a de Casteljau algoritmust használják: iteratív módon felbontja a görbét és numerikusan adja meg B(t) értékét; a görbe könnyen felosztható kisebb Bézier-görbék összefolyásával vagy kiválásával.

A Bézier-görbék általánosan n-ed fokúak lehetnek, Bernstein-polynomials felhasználásával. Kapcsolódnak a B-spline-alapú görbékhez és széles körben alkalmazzák vektorgrafikában, betűtervezésben (betűvonalak útvonala), animációkban, valamint CAD/CAM és CNC rendszerekben.