Binomiaalteoreemi

Binomiaalteoreem on matemaatiline valem, mis kirjeldab (x+y)^n väärtust, kui n on mitte-negatiivne täisarv. Selle teoreemi kohaselt on (x+y)^n võrdne korrutiste summina: (x+y)^n = sum_{k=0}^n binom(n,k) x^{n-k} y^k. Siin on binom(n,k) tähistab n valitakse k, ning väärtus on binom(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Koefitsiendid binom(n,k) on tihti nähtavad Pascal'i kolmnurgas.

Binomiaalteoreemi tavapärane näide: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3. Kordajate kujunemine järgluses kajastab valikute arvu: n esinemist tuleb valida k korda, mistõttu koefitsientide järjestus on 1, n, n(n-1)/2, ..., 1.

Kuigi n peab olema täisarv, on koefitsientide mõistet laiendanud Newton, kelle nimelise binomiaalteoreemi korral on reaalarvu eksponent α puhul (x+y)^α väljendatav lõpmatu summana: (x+y)^α = sum_{k=0}^∞ binom(α,k) x^{α-k} y^k, kus binom(α,k) = α(α-1)...(α-k+1)/k!. See jääb kehtima konvergeeruval tingimusel, tavaliselt |y/x| < 1.

Rakendused hõlmavad kombinatoorikat, tõenäosusteooriat (binomiaaljaotus), algebrat ja analüüsi. Binomiaalteoreem on alus nii paljude matemaatiliste tõlgenduste kui ka arvutuste jaoks ning selle arendused hõlmavad nii pelgalt täisarvulisi kui ka üldistatud eksponente. Ajalooliselt on selle patendina seotud Pascal ja Newton, kelle tööd tõid koefitsientide mõistmise ja kasutamise laiemasse kasutusse.