Binomiaalkoefitsiente

Binomiaalkoefitsient, tähistatud sageli C(n, k) või binom(n, k), on arv, mis kirjeldab, kui palju erinevaid k-elemendist alamhulki saab moodustada n-elementide hulgast. Kui n on mitte-negatiivne täisarv ja 0 ≤ k ≤ n, defineerib koefitsient valem: binom(n, k) = n! / (k! (n − k)!). Näide: binom(5, 2) = 10. See koefitsient näitab ka selle, kui palju erinevaid k-elementide alamhulkasid on n-elementide hulgast.

Omadused: binom(n, k) on sümmeetiline, ehk binom(n, k) = binom(n, n − k). Rekursiooniga: binom(n, k) = binom(n − 1, k) + binom(n − 1, k − 1), koos piiridega binom(n, 0) = binom(n, n) = 1. Need omadused ilmnevad Pascal’i kolmnurgas. Binomiaalne tehe: (x + y)^n = sum_{k=0}^n binom(n, k) x^{n−k} y^k.

Üldistus: Mittetäisarvude korral saab koefitsienti defineerida gamma-funktsiooni abil: binom(a, b) = Gamma(a + 1) / (Gamma(b + 1) Gamma(a − b + 1)). See generaliseerimine lubab kasutada binomiaalset koefitsienti ka reaalsetel või komplekssetel väärtustel; täisarvude korral see koefitsient on võrdel n!/(k!(n−k)!). Binomiaalkoefitsiente kasutatakse laialdaselt kombinatorikas, tõenäosus- ja statistikas, algebra ja analüüsi valdkondades, sealhulgas binomiaalsete lausette ja lootuste arvestamisel.