Binäärirelaatioilla

Binäärirelaatio on joukkojen välinen suhde, joka voidaan kuvata järjestettyjen pariensa joukkona. Yksinkertaisimmillaan binäärirelaatio esiintyy kahden joukon, sanotaan A ja B, välillä, ja se koostuu pareista (a, b), missä a kuuluu joukkoon A ja b kuuluu joukkoon B. Tällöin puhutaan joukkojen A ja B välisestä relaatiosta. Jos joukot A ja B ovat samat, kyseessä on joukon A sisäinen relaatio.

Binäärirelaatioita voidaan esittää useilla tavoilla. Yksi tapa on luetella kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit. Toinen tapa on käyttää matriisia, jossa rivit edustavat joukon A alkioita ja sarakkeet joukon B alkioita. Matriisin alkiot ovat yleensä 0 tai 1, missä 1 osoittaa, että vastaava pari kuuluu relaatioon. Graafinen esitys on myös mahdollinen, erityisesti joukon sisäisten relaatioiden kohdalla, käyttäen nuolia, jotka yhdistävät joukon alkioita osoittaakseen relaation olemassaolon.

Binäärirelaatioilla on monia tärkeitä ominaisuuksia, jotka kuvaavat niiden luonnetta. Näitä ovat esimerkiksi refleksiivisyys, symmetrisyys, antisymmetrisyys ja transitiivisuus. Refleksiivinen relaatio sisältää kaikki mahdolliset parit, joissa alkio on relaatiossa itsensä kanssa. Symmetrinen relaatio on sellainen, että jos (a, b) kuuluu relaatioon, niin myös (b, a) kuuluu siihen. Antisymmetrisyys tarkoittaa, että jos (a, b) ja (b, a) kuuluvat relaatioon, niin a = b. Transitiivinen relaatio täyttää ehdon, että jos (a, b) ja (b, c) kuuluvat relaatioon, niin myös (a, c) kuuluu siihen. Nämä ominaisuudet ovat keskeisiä esimerkiksi järjestysrelaatioiden ja ekvivalenssirelaatioiden määrittelemisessä.