Bijektsioonist

Bijektsioonist on matemaatikas mõiste, mis kirjeldab täpset vastavust kahe hulga vahel. Funktsioon f: A -> B on bijektsioon, kui ta on samal ajal injektsioon ja surjektioon. See tähendab, et iga a ∈ A on seotud täpselt ühega b ∈ B ja iga b ∈ B on kujutatud millegi a ∈ A kaudu.

Sellisel juhul on olemas pöördfunktsioon f^{-1}: B -> A, mis on samuti bijektsioon. Pöördfunktsioon täidab, et f^{-1}(f(a)) = a ja f(f^{-1}(b)) = b kõigi a ∈ A ja b ∈ B. See tähendab, et bijektsioonid on pööratavad ja ž veel.

Omadused: Kui f: A -> B ja g: B -> C on bijektsioonid, siis ka g ∘ f: A -> C on bijektsioon. See muudab bijektsioonid kasulikeks koostatavate vormide puhul. Bijektsioonid näitavad, et hulgad A ja B on võrdse kardinallikkusega: on olemas ühe-ühene ja kõiki elemente kattev vastavus ning seetõttu saab hulki võrdväärselt käsitleda.

Näited: Näide 1, f: Z -> Z, f(n) = -n, on bijektsioon ja selle pöördfunktsioon on sama. Näide 2, f: N -> 2N, f(n) = 2n, on bijektsioon (koodonoom 2N); inverse on g(m) = m/2. Näide 3, f: N -> N, f(n) = n+1 ei ole bijektsioon, kuna 0 ei kuulu kujutises.

Kasutus: Bijektsioonid on keskne mõiste hulkade võrdse suuruse ehk kardinalliku mõistmisel ning neid rakendatakse erinevates matemaatika valdkondades, sealhulgas kombinatoorikas ja algebras.