Bezierkäyriä

Bezierkäyriä ovat parametrisista käyristä muodostettuja polkuja, joita käytetään laajasti tietokonegrafiikassa, typografiassa ja CAD-ohjelmistoissa. Ne on nimetty ranskalaisen insinöörin Pierre Bézierin mukaan, ja niiden evaluointiin sekä muotoiluun liittyy usein de Casteljau -algoritmi. Bezierkäyrä määritellään n+1 hallintopisteen P0, P1, ..., Pn avulla ja avulla B(t) lasketaan kaavalla B(t) = sum_{i=0}^{n} binom(n,i) (1−t)^{n−i} t^{i} P_i, where t kuuluu [0,1]. P0 ja Pn ovat käyrän alkupiste ja loppupiste.

Ominaisuudet: Bezierkäyrä aloittaa P0:stä ja päättyy Pn:ään, eli B(0)=P0 ja B(1)=Pn. Ensimmäiset tangentin suunnat ovat B'(0)=n(P1−P0) ja B'(1)=n(Pn−P_{n−1}). Käyrä pysyy hallintopisteidensä konveksisen kuoren sisällä ja on affiinisesti invariants (muutokset, kuten skaalaukset ja siirrot, säilyttävät muodon). de Casteljau -algoritmilla voidaan sekä arvioida B(t) että jakaa käyrä osiin eripituisilla t-arvoilla.

Tyypit ja lasku: yleisinä muotoina ovat quadratic (n=2) ja cubic (n=3) Bezier-käyrät, joissa on kolme tai neljä hallintopistettä. Bezier-käyriä käytetään laajasti vektoripiirroksessa (esim. SVG-polut), fonttien ääriviivoissa sekä animaatioissa ja CAD-ohjelmistoissa.

Sovellukset ja rajat: Bezier-käyrät toimivat rakennuspalikoina Bezier-splineihin sekä liittyvät läheisesti B-splineihin ja NURBS:iin. Käyttöratkaisut vaativat usein useiden Bezier-käyrien yhdistämistä C1- tai korkeampaa jatkuvuutta varten.