Avbildningsmatrisen

Avbildningsmatrisen är matrisrepresentationen av en linjär avbildning T: V → W med avseende på valda baser för V och W. Om B = (v1, …, vn) är en bas för V och C = (w1, …, wm) en bas för W, så finns en m×n-matris A så att Tv uttrycks i koordinater relativt C som [Tv]_C = A [v]_B. Då uppföljer att varje kolumn i A motsvarar koordinaterna av T(vj) i basen C.

Byggstenarna: För varje vj i B beräknas T(vj) i W och uttrycks i basen C: T(vj) = ∑ i=1..m aij wi. Kolumn j i Avbildningsmatrisen består alltså av koordinaterna a1j, …, amj. Storleken på A är m×n, där n = dim V och m = dim W. Om T är från och med V till V själv och baserna B respektive C är lika, får man en kvadratisk matris.

Ändring av baser: Avbildningsmatrisen beror på valda baser. Om man byter bas i V med Q och byter bas i W med P, så ändras representationen enligt A' = P^{-1} A Q. Om V = W och B och C byts mot nya baser B', C' följer A' = P^{-1} A P där P är bytestecknet mellan baserna.

Egenskaper: Matrixen representerar T så att sammansättning motsvarar matrisprodukter: [T2 ∘ T1] = A2 A1. Rang av A är dimensionen av Avbildningen bild(T). Kerneln och bilden i rumslig mening av T motsvarar lösningarna till A x = 0 respektive kolonnens spänning.

Exempel: T: R^2 → R^2 med T(x,y) = (2x + y, x − y). Med standardbaser blir Avbildningsmatrisen A = [[2, 1], [1, −1]]. Kolumnerna är T(e1) och T(e2).