Adskillelighed

Adskillelighed, eller separabilitet, er en egenskab ved et topologisk rum X. Rummet siges at være adskilleligt, hvis der findes en tællbar, tæt delmængde D ⊆ X, sådan at lukkningen af D i X er hele X. Tællbar betyder, at D har kardinalitet svarende til de naturlige tal, og tæt betyder, at hver ikke-tom åben mængde i X møder D.

En vigtig metrikisk karakterisering er, at i metriske rum er adskillelighed ækvivalent med eksistensen af en tællbar tæt delmængde. Med andre ord betyder det, at der findes et tællbart sæt, hvis lukning i rummet giver hele rummet.

Eksempler og betydning:

- De almindelige reelle tal R med den sædvanlige topologi er adskillelige, da de rationelle tal Q er tællbare og tætte i R.

- Rum af kontinuerlige funktioner på et kompakt interval, C([0,1]) med sup-norm, er også adskillelige; for eksempel tæller polynomier med rationelle koefficienter og disse er tællbare og tæt i C([0,1]).

- Ikke-adskillelige rum findes; for eksempel et uendeligt stort diskret rum eller R^I for uendeligt indeksmenge I kan være ikke-adskillelige.

Egenskaber og konsekvenser:

- Ethvert kontinuert billede af et adskilleligt rum er adskilleligt.

- Ethvert tællbart rum er naturligvis adskilleligt.

- Adskillelighed er ikke nødvendigvis bevaret under underrum eller visse produktioner; uendelige produkter af adskillelige rum kan være ikke-adskillelige.

Anvendelser forekommer bredt i analyse og topologi, hvor adskillelighed ofte bruges til at sikre tilgængelige tællelige beskrivelser og konstruktioner.