Absoluttverdiene

Absoluttverdiene (absoluttverdi-funksjonen) gir størrelsen til et tall uten tegn. For et reelt tall x er absoluttverdien |x| definert som avstanden mellom x og 0 på tallinjen.

Definisjon og grunnleggende egenskaper: For reelle tall er |x| = x hvis x ≥ 0, og |x| = −x hvis x < 0. Vi har |x| ≥ 0 for alle x, og |x| = 0 dersom og bare dersom x = 0. Videre gjelder |−x| = |x|, og |xy| = |x| |y|. For ikke-null tall a og b følger |a/b| = |a| / |b|.

Ulikheter og operasjoner: Triangelulikheten: |x + y| ≤ |x| + |y|. Den omvendte triangelulikheten: ||x| − |y|| ≤ |x − y|. Og egenskapen at |x|^p = (|x|)^p for p > 0.

Graf og betydning: Grafen til |x| er en V-formet kurve med toppunkt i origo og er en jevn funksjon som er symmetrisk rundt y-aksen. Den kan forstås som avstanden fra nullpunktet.

Generaliseringer og anvendelser: Absoluttverdien utvides til komplekse tall som modulus |z| = sqrt(Re(z)^2 + Im(z)^2) og til vektorer i R^n som L1-normen sum_i |x_i|. Den brukes til å måle avstander, definere normer og metrikker, og i problemløsning innen analyse, optimering og dataanalyse.