ívenergiaszintjének

Az ívenergiaszintjének kifejezés a görbék energiájával kapcsolatos fogalom a variációszámítás és a differenciálegyenletek területén. Egy sima γ: [a,b] → ℝ^n görbe esetén az ívenergia E(γ) a következőképpen definiálható: E(γ) = (1/2) ∫_a^b ||γ'(t)||^2 dt. Az ívhossz pedig L(γ) = ∫_a^b ||γ'(t)|| dt.

A Cauchy–Schwarz‑tétel alapján L(γ)^2 ≤ (b−a) ∫_a^b ||γ'(t)||^2 dt, tehát E(γ) ≥ L(γ)^2 / [2(b−a)]. Egyenlőség akkor áll fenn, ha γ állandó sebességgel halad a görbén, azaz az időparametrizáció arányos az ívhosszal (arc-length paraméterezés). Az arclength szerinti paraméterezés a vizsgált görbe energiáját gyakran egyszerűbbé teszi.

A fogalom jelentősége abban rejlik, hogy geodéziai problémákhoz kapcsolódó energia-függvény a görbék vizsgálatának alapja: az E(γ) kritikus pontjain vagy minimaiban geodéziai görbéket találhatunk. Fizikai kontextusban a részecske mozgásának energiája és az elasztikus görbék vizsgálata is kapcsolódik ehhez a szemlélethez, valamint útvonaltervezésben és számítógépes grafikában is alkalmazzák az energiamegoldásokat.

Kapcsolódó fogalmak: görbe energia, arc-hossz, variációs módszerek, geodézia, minimális energia problémák.